Operasi
pada Bentuk Aljabar
Dalam
mendiskusikan operasi pada bentuk-bentuk Aljabar, ada beberapa hal
yang
perlu untuk dipahami dengan baik, karena operasi-operasi dalam bentuk aljabar
menjadi
dasar yang penting dalam memahami bahasan-bahasan berikutnya. Operasioperasi
pada bentuk aljabar mancakup operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian
dan
pembagian dalam bentuk-bentuk aljabar termasuk bentuk-bentuk
penyederhanaan
dan aplikasinya.
1.
Penjumlahan dan Pengurangan Suku-suku serta Bentuk-bentuk Sejenis
Tentunya
kita telah mengenal bentuk-bentuk seperti 9x – 15x, dan 10y – 5 –
3y
+ 6, dan sebagainya. Sekarang akan dipelajari bagaimana cara
menyederhanakannya.
Menyederhanakan suatu bentuk ialah mencari bentuk lain
yang
sama artinya dengan bentuk semula tetapi bentuknya lebih sederhana. Untuk
menyederhanakan
bentuk-bentuk itu digunakan sifat-sifat seperti:
(i
) sifat komutatif penjumlahan dan perkalian
a + b = b + a
ab
= ba
(ii)
sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c
= a (bc)
(iii)
sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
ab + ac = a (b + c); a disebut faktor
persekutuan.
Bagaimana
dengan sifat komutatif pengurangan,
asosiatif pengurangan dan
sifat
distributif perkalian terhadap
pengurangan?
Contoh
5
Sederhanakanlah
3x
3
+
4x
2
+
x
3
–
2x
2
.5
Penyelesaian:
3x
3
+
4x
2
+
x
3
–
2x
2
=
3x
3
+ x
3
+
4x
2
–
2x
2
(hukum
komutatif penjumlahan)
= (3 + 1)x
3
+
(4 – 2)x
2
(hukum
distributif perkalian terhadap
penjumlahan/pengurangan).
= 4x
3
+
2x
2
Dalam
pelaksanannya, beberapa langkah boleh dilampaui.
Contoh
6
Tentukan
jumlah dari
4x
2
–
3xy – 2y
2
dan
-7x
2
+
5xy – 8y
2
.
Penyelesaian:
4x
2
–
3xy – 2y
2
+ (-7x
2
+
5xy – 8y
2
)
= 4x
2
–
3xy – 2y
2
-7x
2
+
5xy – 8y
2
= 4x
2
-7x
2
–
3xy + 5xy – 2y
2
-8y
2
= -3x
2
+
2xy – 10y
2
Perhatikanlah
bagaimana mengelompokkan suku-suku sejenis sehingga hukum
distributif
dapat dipakai dengan mudah. Lihatlah baris kedua dari bawah. Dalam
pelaksanaannya,
baris tersebut boleh dihapus. Pengelompokan itu dilakukan dalam
pikiran
saja dan tidak perlu ditulis.
Contoh
7
Kurangkanlah
3x – 4 dari 2x + 5
Penyelesaian:
(2x + 5) – (3x – 4)
= 2x + 5 -1 (3x – 4)
= 2x + 5 – 3X + 4
= -x + 9
Catatan
Bentuk
seperti x
3
-3x
2
+
4x + 5 dinamakan suku banyak atau polinom dengan satu
peubah.6
Bentuk
3x
2
y
+ 2xy
2
+
4y – 7 disebut suku banyak atau polinom dengan dua peubah.
Suku
banyak dengan tiga suku disebut suku tiga atau trinom misalnya 3x
2
-
4x + 1.
2.
Menyatakan Perkalian Faktor-faktor sebagai Penjumlahan Suku-suku
Seperti
telah dipelajari bentuk yang mempunyai dua suku seperti x + 2 atau
x
+ 3 disebut sukudua atau binom. Kita dapat menghitung hasil perkalian suku dua
dengan
memakai hukum distributif sebagai berikut:
(x
+ 2) (x + 3)
= x(x + 3) + 2(x + 3)
=
x
2
+
3x + 2x + 6
=
x
2
+
5x + 6
Hasil
itu dapat juga diperoleh dengan menggambar persegipanjang yang lebarnya (x
+
2) satuan dan panjangnya (x + 3) satuan. Kemudian persegipanjang itu dibagi
seperti
tampak pada Gambar. 1
Gambar.
1
Contoh
8
(2x
– 4)(3x – 7)
=
2x(3x -7) – 4x(3x – 7)
=
6x
2
–
14x – 12x + 28
=
6x
2
–
26x + 28
Jelaslah
perkalian dus sukudua, menghasilkan suku banyak yang mempunyai
4
suku yang dua suku diantaranya seringkali dapat diperoleh denga mencongak
(dipikirkan
saja). Perhatikan perkalian berikut ini.7
(x
+ 6) (x – 5)
Hasil
perkalian “dalam” yaitu (2) dan perkalian “luar” yaitu (3) dijumlahkan
menghasilkan
suku tengah: 6x – 5x = x.
Jika
perkalian dua suku banyak dinyatakan sebagai perkalian beberapa suku,
maka
dikatakan bahwa perkalian itu dijabarkan
dan dijumlahkan itu disebut hasil
penjabaran
dari perkalian tersebut.
3.
Dua Pengkuadratan yang Penting
Perkalian
dua buah bentuk pengkuadratan berikut:
a.
(a + b)
2
=
(a + b)(a + b)
=
a(a + b) + b(a + b)
=
a
2
+
ab + ab + b
2
b.
(a - b)
2
=
(a - b)(a - b)
=
a(a - b) - b(a - b)
=
a
2
-
ab - ab + b
2
Perhatikanlah
benar-benar
(a
+ b)
2
=
(a + b)(a + b)
(a
- b)
2
=
(a - b)(a - b)
Hasil
pengkuadratan itu adalah:
Suku
pertama adalah kuadrat suku pertama duasuku yang dikuadratkan, suku tengah
adalah
duakali hasil perkalian kedua suku. Suku ketiga adalah kuadrat suku kedua.
Contoh
9
(x
+ 5)
2
=
x
2
+
2(x)(5) + 5
2
=
x
2
+
10x + 258
Contoh
10
(2x – 3y)
2
=
(2x)
2
+
2(2x)(-3y) +(-3y)
2
=
4x
2
-
12xy + 9y
2
Ingatlah
bahwa:
Bilangan
positif dikalikan bilangan negatif
hasilnya merupakan bilangan negatif.
Hasil
perkalian dua bilangan negatif merupakan bilangan positif.
Sumber:
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195509091980021-KARSO/ALJABAR_SMP_1.pdf
