Jumat, 30 November 2012

materi MTK kelas XI semester 2


Operasi pada Bentuk Aljabar
Dalam mendiskusikan operasi pada bentuk-bentuk Aljabar, ada beberapa hal
yang perlu untuk dipahami dengan baik, karena operasi-operasi dalam bentuk aljabar
menjadi dasar yang penting dalam memahami bahasan-bahasan berikutnya. Operasioperasi pada bentuk aljabar mancakup operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian
dan pembagian dalam bentuk-bentuk aljabar termasuk bentuk-bentuk
penyederhanaan dan aplikasinya.
1. Penjumlahan dan Pengurangan Suku-suku serta Bentuk-bentuk Sejenis
Tentunya kita telah mengenal bentuk-bentuk seperti 9x – 15x, dan 10y – 5 –
3y + 6, dan sebagainya. Sekarang akan dipelajari bagaimana cara
menyederhanakannya. Menyederhanakan suatu bentuk ialah mencari bentuk lain
yang sama artinya dengan bentuk semula tetapi bentuknya lebih sederhana. Untuk
menyederhanakan bentuk-bentuk itu digunakan sifat-sifat seperti:
(i ) sifat komutatif penjumlahan dan perkalian
      a + b = b + a
ab = ba
(ii) sifat asosiatif penjumlahan dan perkalian
      (a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a (bc)
(iii) sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
       ab + ac = a (b + c); a disebut faktor persekutuan.
Bagaimana dengan sifat komutatif  pengurangan, asosiatif pengurangan dan
sifat distributif perkalian terhadap  pengurangan?
Contoh 5
Sederhanakanlah 3x
3
+ 4x
2
+ x
3
– 2x
2
.5
Penyelesaian:    
3x
3
+ 4x
2
+ x
3
– 2x
2
= 3x
3
+  x
3
+ 4x
2
– 2x
2
(hukum komutatif penjumlahan)
                                 = (3 + 1)x
3
+ (4 – 2)x
2
(hukum distributif perkalian terhadap
penjumlahan/pengurangan).  
                                 = 4x
3
+ 2x
2
   
Dalam pelaksanannya, beberapa langkah boleh dilampaui.
Contoh 6
Tentukan jumlah dari
4x
2
– 3xy – 2y
2
dan -7x
2
+ 5xy – 8y
2
.
Penyelesaian: 4x
2
– 3xy – 2y
2
+  (-7x
2
+ 5xy – 8y
2
)   
              = 4x
2
– 3xy – 2y
2
-7x
2
+ 5xy – 8y
2
 
              = 4x
2
-7x
2
– 3xy + 5xy – 2y
2
-8y
2
    
              = -3x
2
+ 2xy – 10y
2
    
Perhatikanlah bagaimana mengelompokkan suku-suku sejenis sehingga hukum
distributif dapat dipakai dengan mudah. Lihatlah baris kedua dari bawah. Dalam
pelaksanaannya, baris tersebut boleh dihapus. Pengelompokan itu dilakukan dalam
pikiran saja dan tidak perlu ditulis.
Contoh 7
Kurangkanlah 3x – 4 dari 2x + 5
Penyelesaian: (2x + 5) – (3x – 4)
               =  2x + 5 -1 (3x – 4)
                = 2x + 5 – 3X + 4
                = -x + 9     
Catatan
Bentuk seperti x
3
-3x
2
+ 4x + 5 dinamakan suku banyak atau polinom dengan satu
peubah.6
Bentuk 3x
2
y + 2xy
2
+ 4y – 7 disebut suku banyak atau polinom dengan dua peubah.
Suku banyak dengan tiga suku disebut suku tiga atau trinom misalnya 3x
2
- 4x + 1.
    
2. Menyatakan Perkalian Faktor-faktor sebagai Penjumlahan Suku-suku
Seperti telah dipelajari bentuk yang mempunyai dua suku seperti x + 2 atau   
x + 3 disebut sukudua atau binom. Kita dapat menghitung hasil perkalian suku dua
dengan memakai hukum distributif sebagai berikut:
(x + 2) (x + 3)
                                               = x(x + 3) + 2(x + 3)
= x
2
+ 3x + 2x + 6
= x
2
+ 5x + 6
Hasil itu dapat juga diperoleh dengan menggambar persegipanjang yang lebarnya (x
+ 2) satuan dan panjangnya (x + 3) satuan. Kemudian persegipanjang itu dibagi
seperti tampak pada Gambar. 1
Gambar. 1
Contoh 8
(2x – 4)(3x – 7)
= 2x(3x -7) – 4x(3x – 7)
= 6x
2
– 14x – 12x + 28
= 6x
2
– 26x + 28
Jelaslah perkalian dus sukudua, menghasilkan suku banyak yang mempunyai
4 suku yang dua suku diantaranya seringkali dapat diperoleh denga mencongak
(dipikirkan saja). Perhatikan perkalian berikut ini.7
(x + 6) (x – 5)
Hasil perkalian “dalam” yaitu (2) dan perkalian “luar” yaitu (3) dijumlahkan
menghasilkan suku tengah: 6x – 5x = x.
Jika perkalian dua suku banyak dinyatakan sebagai perkalian beberapa suku,
maka dikatakan bahwa perkalian itu  dijabarkan dan dijumlahkan itu disebut  hasil
penjabaran dari perkalian tersebut.
3. Dua Pengkuadratan yang Penting
Perkalian dua buah bentuk pengkuadratan berikut:
a. (a + b)
2
= (a + b)(a + b)
= a(a + b) + b(a + b)
= a
2
+ ab + ab + b
2
b. (a - b)
2
= (a - b)(a - b)
= a(a - b) - b(a - b)
= a
2
- ab - ab + b
2
Perhatikanlah benar-benar
(a + b)
2
= (a + b)(a + b)
(a - b)
2
= (a - b)(a - b)
Hasil pengkuadratan itu adalah:
Suku pertama adalah kuadrat suku pertama duasuku yang dikuadratkan, suku tengah
adalah duakali hasil perkalian kedua suku. Suku ketiga adalah kuadrat suku kedua.
Contoh 9
(x + 5)
2
= x
2
+ 2(x)(5) + 5
2
= x
2
+ 10x + 258
Contoh 10
           (2x – 3y)
2
= (2x)
2
+ 2(2x)(-3y) +(-3y)
2
= 4x
2
- 12xy + 9y
2
Ingatlah bahwa:
Bilangan positif  dikalikan bilangan negatif hasilnya merupakan bilangan negatif.
Hasil perkalian dua bilangan negatif merupakan bilangan positif.
Sumber: http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/195509091980021-KARSO/ALJABAR_SMP_1.pdf

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar